Cargando…

Rectas en el espacio

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una recta en el espacio se describe con un punto y una dirección.
El vector director marca hacia dónde va la recta.
El parámetro $t$ recorre la recta: cada valor da un punto distinto.
Con vectores se estudian intersecciones, ángulos y movimientos.

Ecuación vectorialNS

$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{b}$ , con $\mathbf{a}$ un punto y $\mathbf{b}$ la dirección.
$\mathbf{a}$ es un punto conocido de la recta (posición inicial).
$\mathbf{b}$ es el vector director (la "velocidad").
Dos rectas son paralelas si sus directores son múltiplos.

Ecuaciones paramétricasNS

Separa por componentes: $x=a_1+tb_1$ , $y=a_2+tb_2$ , $z=a_3+tb_3$ .
Cada coordenada depende del mismo parámetro $t$ .
Sustituye un valor de $t$ para obtener un punto concreto.
Útil para comprobar si un punto pertenece a la recta.

Punto de intersecciónNS

Iguala las dos rectas: $\mathbf{a}_1+t\,\mathbf{b}_1=\mathbf{a}_2+s\,\mathbf{b}_2$ .
Resuelve el sistema para $t$ y $s$ (usa dos componentes).
Comprueba en la tercera componente que también se cumple.
Si no hay solución consistente, las rectas se cruzan (skew).

Ángulo entre rectasNS

Se calcula con los vectores directores, no con los puntos.
$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|}$ .
Toma el ángulo agudo (usa el valor absoluto si hace falta).
Perpendiculares si $\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2=0$ .

Movimiento y colisiónNS

Si $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{v}$ , entonces $t$ es el tiempo.
Dos móviles chocan solo si están en el mismo punto al mismo $t$ .
Cruzar la misma trayectoria en distinto $t$ no es choque.
La rapidez de cada móvil es $|\mathbf{v}|$ .

Ejemplo resueltoNS

Problema: ¿qué ángulo forman las rectas con directores $\mathbf{b}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ y $\mathbf{b}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ ?
Producto escalar: $\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2=1(0)+0(1)+1(1)=1$ .
Módulos: $|\mathbf{b}_1|=|\mathbf{b}_2|=\sqrt{2}$ .
$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \theta=60°$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Introducir vectores director:

menu›Run-Matrix›OPTN›MAT/VCT›Vct

Producto escalar de directores:

OPTN›MAT/VCT›DotP

Módulo de un director:

OPTN›MAT/VCT›Norm

Resolver el sistema (intersección):

menu›Equation›Simultaneous

Términos IB

Escribe la ecuación vectorial: da un punto más el vector director.
Halla el punto de intersección: iguala y resuelve el parámetro.
Halla el ángulo entre las rectas: usa los vectores directores.
¿Colisionan?: comprueba mismo punto y mismo valor de $t$ .