Cargando…

Regla del trapecio

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Regla del trapecio: aproxima el área bajo una curva con trapecios.
Útil cuando no se puede (o no se pide) integrar exactamente.
Divide $[a,b]$ en $n$ franjas iguales.
Necesita los valores de $y$ en los extremos de cada franja.

La fórmula del trapecio

$A\approx\dfrac{h}{2}\big[y_0+y_n+2(y_1+y_2+\cdots+y_{n-1})\big]$ .
Los extremos $y_0$ e $y_n$ pesan una vez; los internos, doble.
$h$ es el ancho de cada franja.

El ancho de franja h

$h=\dfrac{b-a}{n}$ , con $n=$ número de franjas.
Hay $n+1$ valores de $y$ (uno por cada línea vertical).
Ordena los datos en una tabla $x\to y$ antes de sumar.

Sobrestimar o subestimar

Curva cóncava hacia arriba $(\cup)$ : los trapecios sobrestiman el área.
Curva cóncava hacia abajo $(\cap)$ : subestiman.
Los trapecios quedan por encima o por debajo de la curva según la concavidad.

Precisión

Más franjas ( $n$ mayor, $h$ menor) → mejor aproximación.
El error disminuye al aumentar $n$ .

De dónde sale la fórmula

Un trapecio de bases $a$ y $b$ y altura $h$ tiene área $A=\dfrac{1}{2}(a+b)h$ .
En cada franja, las "bases" son dos valores de $y$ consecutivos y la altura es $h$ .
Sumar el área de todas las franjas da la fórmula general.
Por eso los $y$ internos aparecen dos veces (son base compartida de dos franjas).

Ejemplo resuelto

Problema: estima $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ con la regla del trapecio.
Datos: $x=0,1,2,3,4$ con $y=3,5,6,5,3$ (así $h=1$ , $n=4$ ).
Extremos: $y_0=3$ , $y_4=3$ .
Internos: $y_1+y_2+y_3=5+6+5=16$ .
$A\approx\dfrac{1}{2}\big[3+3+2(16)\big]=\dfrac{1}{2}(38)=19$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Comparar con el valor exacto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›∫dx

Guardar los datos en listas:

menu›Statistics

Sumar una lista:

menu›Run-Matrix›OPTN›LIST›Sum

Términos IB

Estima / Aproxima el área: aplica la fórmula del trapecio.
Halla $h$ : usa $\dfrac{b-a}{n}$ .
Explica si sobre/subestima: mira la concavidad de la curva.