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Sucesiones y series

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Sucesión: lista ordenada de números; $u_n$ es el término que ocupa el lugar $n$ .
Serie: la suma de los términos de una sucesión; $S_n$ es la suma de los primeros $n$ .
Aritmética: cada término se obtiene sumando una diferencia fija $d$ .
Geométrica: cada término se obtiene multiplicando por una razón fija $r$ .
$u_1$ es el primer término y $n$ la posición (un entero positivo).

Sucesión y serie aritmética

Término general: $u_n=u_1+(n-1)d$ .
Diferencia común: $d=u_{n+1}-u_n$ (constante).
Suma de $n$ términos: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2u_1+(n-1)d\big)$ .
También: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(u_1+u_n\big)$ cuando ya conoces $u_n$ .

Sucesión y serie geométrica

Término general: $u_n=u_1\,r^{\,n-1}$ .
Razón común: $r=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (constante).
Suma de $n$ términos: $S_n=\dfrac{u_1(r^{\,n}-1)}{r-1}$ , con $r\neq1$ .
Forma equivalente: $S_n=\dfrac{u_1(1-r^{\,n})}{1-r}$ (útil si $|r|<1$ ).

Suma de una serie geométrica infinita

Solo converge si $|r|<1$ (los términos se hacen cada vez más pequeños).
Suma al infinito: $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$ .
Si $|r|\ge1$ la suma crece sin límite: no existe $S_\infty$ .

Notación sigma

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k=u_1+u_2+\cdots+u_n$ : suma desde $k=1$ hasta $n$ .
El índice $k$ recorre los enteros entre los límites inferior y superior.
Reconoce si el término $u_k$ es aritmético (lineal en $k$ ) o geométrico (potencia de $k$ ).

Dónde aparecen (aplicaciones)

Interés y crecimiento: el capital año a año forma una sucesión geométrica de razón $r=1+\tfrac{i}{100}$ .
Depreciación: valor decreciente con $0<r<1$ .
Patrones y modelos: filas de un teatro, apilamientos → suelen ser aritméticos.
Identifica primero el tipo, luego elige la fórmula correcta.

Ejemplo resuelto

Problema: en una progresión geométrica $u_1=5$ y $u_3=45$ . Halla $r$ y la suma de los primeros 6 términos.
De $u_3=u_1r^2$ : $45=5r^2\Rightarrow r^2=9\Rightarrow r=3$ (tomamos el positivo).
Suma: $S_6=\dfrac{5(3^{6}-1)}{3-1}=\dfrac{5(729-1)}{2}$ .
$S_6=\dfrac{5\cdot728}{2}=1820$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Sumar una serie con sigma:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›Σ(

Generar una sucesión en tabla:

menu›Table›escribe la fórmula›TABLE

Ver el patrón como gráfico:

menu›Statistics›introduce n y u(n)›GRAPH

Resolver una ecuación (hallar n o r):

menu›Equation›Solver

Términos IB

Halla el término n-ésimo: sustituye en $|r|$ la fórmula del tipo correcto.
Muestra que: parte de los datos y llega a la expresión pedida.
Halla la suma: usa $S_n$ (finita) o $S_\infty$ (solo si $|r|<1$ ).
Determina si converge: comprueba el valor de $|r|$ .