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Tangentes y normales

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Tangente: recta que toca la curva en un punto con su misma pendiente.
Normal: recta perpendicular a la tangente en ese punto.
Pendiente de la tangente en $x=a$ : $m_t=f'(a)$ .
Rectas perpendiculares: el producto de sus pendientes es $-1$ .

Pendiente de la tangente

Deriva $f$ para obtener $f'(x)$ .
Sustituye $x=a$ : $m_t=f'(a)$ .
El punto de tangencia es $(a,\,f(a))$ .

Ecuación de la tangente

$y-y_1=m(x-x_1)$ con $m=f'(a)$ y $(x_1,y_1)=(a,f(a))$ .
O bien $y=mx+c$ , hallando $c$ con el punto.

La normal

Pendiente: $m_n=-\dfrac{1}{f'(a)}$ (perpendicular a la tangente).
Ecuación: $y-y_1=m_n(x-x_1)$ .
Si la tangente es horizontal $\big(f'(a)=0\big)$ , la normal es vertical: $x=a$ .

Casos y consejos

Tangente horizontal donde $f'(a)=0$ .
Para la normal necesitas primero $m_t$ .
Da la ecuación en la forma que pida el enunciado.

Casos frecuentes

Tangente horizontal: donde $f'(x)=0$ .
Tangente paralela a $y=mx+c$ : resuelve $f'(x)=m$ .
Tangente perpendicular a una recta de pendiente $k$ : $f'(x)=-\dfrac{1}{k}$ .
Cortes de la tangente con los ejes: haz $y=0$ (eje $x$ ) o $x=0$ (eje $y$ ).

Ejemplo resuelto

Problema: halla la tangente y la normal a $y=x^2-3x$ en $x=1$ .
Punto: $y(1)=1-3=-2$ → $(1,-2)$ .
Deriva: $\dfrac{dy}{dx}=2x-3$ ; en $x=1$ : $m_t=-1$ .
Tangente: $y+2=-1(x-1)\Rightarrow y=-x-1$ .
Normal: $m_n=-\dfrac{1}{-1}=1\Rightarrow y+2=1(x-1)\Rightarrow y=x-3$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Dibujar la tangente:

menu›Graph›SHIFT›Sketch›Tangent

Dibujar la normal:

menu›Graph›SHIFT›Sketch›Normal

Derivada en un punto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Términos IB

Halla la ecuación de la tangente/normal: usa $m=f'(a)$ y el punto.
Muestra que: verifica la ecuación dada.
Halla el punto de corte: resuelve el sistema recta–curva.