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Transformaciones de funciones

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una transformación mueve o deforma la gráfica de $y=f(x)$ .
Hay tres tipos: traslaciones, estiramientos y reflexiones.
Cambios fuera de $f$ afectan a $y$ (vertical, "como se espera").
Cambios dentro de $f$ afectan a $x$ (horizontal, "al revés").
Se estudian en Nivel Superior de AI.

TraslacionesNS

$y=f(x)+k$ : desplaza arriba ( $k>0$ ) o abajo ( $k<0$ ).
$y=f(x-h)$ : desplaza a la derecha ( $h>0$ ) o izquierda ( $h<0$ ).
El horizontal va "al contrario" del signo: $f(x-3)$ mueve $+3$ a la derecha.
En vector: $\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}$ traslada la gráfica.

EstiramientosNS

$y=a\,f(x)$ : estiramiento vertical de factor $a$ .
$|a|>1$ estira; $0<|a|<1$ comprime (hacia el eje $x$ ).
$y=f(bx)$ : estiramiento horizontal de factor $\dfrac{1}{b}$ .
$|b|>1$ comprime; $0<|b|<1$ estira (efecto inverso).

ReflexionesNS

$y=-f(x)$ : refleja respecto del eje $x$ (voltea arriba/abajo).
$y=f(-x)$ : refleja respecto del eje $y$ (voltea izquierda/derecha).
$a<0$ incluye una reflexión vertical; $b<0$ , una horizontal.
Reflejar dos veces devuelve la gráfica original.

Forma combinadaNS

$y=a\,f\big(b(x-h)\big)+k$ reúne todas las transformaciones.
$a$ : estiramiento/reflexión vertical; $y=2f(x-3)+1$ : horizontal.
$h$ : traslación horizontal; $k$ : traslación vertical.
Identifica cada parámetro antes de dibujar.

Orden de las transformacionesNS

Primero lo de dentro (horizontal): $b$ y luego $h$ .
Después lo de fuera (vertical): $a$ y luego $k$ .
Aplicar en distinto orden puede dar una gráfica distinta.
Comprueba con un punto conocido tras cada paso.

Ejemplo resueltoNS

Problema: describe cómo se obtiene $y=2f(x-3)+1$ a partir de $y=f(x)$ .
$f(x-3)$ : traslada 3 a la derecha.
$2f(\dots)$ : estira verticalmente por factor $2$ .
$+1$ : traslada 1 hacia arriba.
Un punto $(a,b)$ de $f$ pasa a $(a+3,\ 2b+1)$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar original y transformada juntas:

menu›Graph›Y1, Y2›DRAW

Comparar puntos:

Graph›G-Solv›Y-CAL

Familia de curvas (parámetro):

menu›Dyna Graph

Tabla de valores para verificar:

menu›Table›TABLE

Términos IB

Describe la transformación: nómbrala (traslación, estiramiento, reflexión) con sus datos.
Escribe la ecuación de la imagen: aplica los parámetros a $f(x)$ .
Halla la imagen de un punto: transforma sus coordenadas.
Dibuja la gráfica transformada: aplica los cambios paso a paso.