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Trigonometría en triángulos no rectángulos

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

En un triángulo cualquiera (sin ángulo recto) usamos la regla del seno y la del coseno.
Convención: el lado $a$ está frente al ángulo $A$ , el $b$ frente a $B$ , y el $c$ frente a $C$ .
La calculadora debe estar en modo grados (Degree).
Haz un dibujo y marca lados y ángulos antes de elegir la regla.

Regla del seno

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .
Úsala cuando tengas un lado con su ángulo opuesto y un dato más.
Para un lado: $a=\dfrac{b\,\sin A}{\sin B}$ .
Para un ángulo, dale la vuelta: $\sin A=\dfrac{a\,\sin B}{b}$ .

Regla del coseno

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ .
Úsala con dos lados y el ángulo entre ellos, o con los tres lados.
Para un ángulo, despeja: $\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ .
Es la generalización del teorema de Pitágoras.

Área del triángulo

$\text{Área}=\dfrac{1}{2}\,ab\,\sin C$ .
Necesitas dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
El ángulo debe estar entre los dos lados que usas.
Da el resultado en unidades cuadradas.

¿Qué regla uso?

Lado y su ángulo opuesto → regla del seno.
Dos lados y el ángulo entre ellos → regla del coseno.
Los tres lados y buscas un ángulo → regla del coseno.
Dos lados y su ángulo comprendido y buscas el área → fórmula del área.

Caso ambiguo

Al hallar un ángulo con la regla del seno puede haber dos soluciones.
El segundo ángulo posible es $180°-A$ .
Comprueba que los ángulos del triángulo sumen $180°$ .
Descarta la opción que no encaje con el dibujo.

Ejemplo resuelto

Problema: en un triángulo, $a=7$ , $b=9$ y el ángulo $C=40°$ . Halla $c$ .
Como tienes dos lados y el ángulo entre ellos, usa la regla del coseno.
$c^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 40°$ .
$c^{2}=130-126\cos 40°\approx 33{,}5\Rightarrow c\approx 5{,}79$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Poner modo grados:

SHIFT›SET UP›Angle›Deg

Evaluar la fórmula: y escribe la expresión

menu›Run-Matrix

Ángulo a partir del coseno:

SHIFT›cos⁻¹

Raíz cuadrada final: tecla

√

Términos IB

Halla la longitud del lado: identifica los datos y elige seno o coseno.
Halla el tamaño del ángulo: despeja con la regla adecuada y usa la inversa.
Halla el área del triángulo: usa un medio por lado por lado por seno del ángulo.
Da la respuesta con 3 cifras significativas: redondea solo al final.