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Trigonometría en triángulos rectángulos

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

En un triángulo rectángulo uno de los ángulos mide $90°$ .
El lado más largo, frente al ángulo recto, es la hipotenusa.
Respecto a un ángulo $\theta$ : el cateto opuesto está enfrente y el cateto adyacente, al lado.
Trabaja siempre con la calculadora en modo grados (Degree).

Teorema de Pitágoras

Relaciona los tres lados: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , con $c$ la hipotenusa.
Sirve para hallar un lado cuando conoces los otros dos.
Despeja con raíz cuadrada: $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .
Solo vale en triángulos rectángulos.

Razones trigonométricas (SOH-CAH-TOA)

Seno: $\sin\theta=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ .
Coseno: $\cos\theta=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ .
Tangente: $\tan\theta=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ .
La regla SOH-CAH-TOA te recuerda qué lados usa cada razón.

Hallar un lado

Identifica el ángulo conocido y qué lado buscas (op, ady o hip).
Elige la razón que relacione lo conocido con lo buscado.
Despeja: por ejemplo $\text{opuesto}=\text{hip}\cdot\sin\theta$ .
Comprueba que la hipotenusa sea el lado más largo.

Hallar un ángulo

Usa las funciones inversas: $\theta=\sin^{-1}(\ldots)$ , $\cos^{-1}$ o $\tan^{-1}$ .
Escribe primero la razón como cociente de lados.
Ejemplo: si $\tan\theta=\tfrac{3}{4}$ , entonces $\theta=\tan^{-1}(0{,}75)$ .
El resultado sale en grados si la GDC está en modo Degree.

Elevación y depresión

Ángulo de elevación: se mide hacia arriba desde la horizontal.
Ángulo de depresión: se mide hacia abajo desde la horizontal.
Dibuja siempre el triángulo y marca el ángulo antes de calcular.
Los dos ángulos son iguales cuando la horizontal es la misma (alternos).

Ejemplo resuelto

Problema: una escalera de $5$ m se apoya formando $65°$ con el suelo. ¿A qué altura llega?
El lado buscado (altura) es el opuesto al ángulo; conoces la hipotenusa.
Usa el seno: $\text{altura}=5\sin 65°$ .
$5\sin 65°\approx 4{,}53$ m.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Poner modo grados:

SHIFT›SET UP›Angle›Deg

Seno / coseno / tangente: teclas y el ángulo

sin

cos

tan

Ángulo a partir de una razón:

SHIFT›sin⁻¹ / cos⁻¹ / tan⁻¹

Raíz cuadrada (Pitágoras): tecla

√

Términos IB

Halla la longitud de: elige la razón adecuada y despeja el lado.
Halla el tamaño del ángulo: usa la función inversa (seno, coseno o tangente).
Ángulo de elevación/depresión: mídelo desde la horizontal.
Da tu respuesta con 3 cifras significativas: redondea solo al final.