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Variables aleatorias y distribución binomial

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una variable aleatoria $X$ asigna un número a cada resultado de un experimento.
Discreta: toma valores separados (0, 1, 2, …).
Su distribución da la probabilidad de cada valor.
El valor esperado $E(X)$ es la media a largo plazo.
La binomial cuenta éxitos en ensayos repetidos.

Distribución de una variable discreta

Se da como tabla: cada valor $x$ con su $P(X=x)$ .
Todas las probabilidades suman $1$ : $\sum P(X=x)=1$ .
Sirve para hallar probabilidades de sucesos combinados.
Con ella se calcula la media (valor esperado).

Valor esperado

$E(X)=\sum x\,P(X=x)$ (media ponderada).
Interpreta: el promedio si repitiéramos muchas veces.
Un juego es justo si $E(\text{ganancia})=0$ .
No tiene por qué ser un valor alcanzable.

Distribución binomial

$X\sim B(n,\,p)$ : $n$ ensayos, éxito con probabilidad $p$ .
Condiciones: nº fijo de ensayos, dos resultados, $p$ constante, independientes.
$P(X=x)$ y $P(X\le x)$ se obtienen con la GDC.
"Al menos uno" = $P(X\ge x)=1-P(X\le x-1)$ .

Cálculos binomiales

Probabilidad exacta: Binomial PD ( $P(X=x)$ ).
Probabilidad acumulada: Binomial CD ( $P(X\le x)$ ).
$P(X\ge x)=1-P(X\le x-1)$ .
$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$ .

Media y desviación de la binomial

Media: $E(X)=np$ .
Varianza: $\text{Var}(X)=np(1-p)$ .
Desviación típica: $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ .
Úsalas para describir el número esperado de éxitos.

Ejemplo resuelto

Problema: se lanza una moneda $10$ veces. ¿ $P(\text{exactamente 6 caras})$ ? ¿Media?
$X\sim B(10,\,0{,}5)$ ; con la GDC (Binomial PD): $P(X=6)\approx0{,}205$ .
Media: $E(X)=np=10\times0{,}5=5$ caras.
Desviación: $\sigma=\sqrt{10\cdot0{,}5\cdot0{,}5}\approx1{,}58$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Probabilidad exacta:

menu›Statistics›DIST›BINM›Bpd

Probabilidad acumulada:

Statistics›DIST›BINM›Bcd

Introduce x, n (Numtrial) y p; luego

EXE

Valor esperado de una tabla: (con frecuencias)

Statistics›CALC›1-Var

Términos IB

Halla P(X = x): usa Binomial PD.
Halla P(X ≤ x) / P(X ≥ x): usa Binomial CD (y el complementario).
Halla el valor esperado: $E(X)=np$ (binomial) o $\sum xP(X=x)$ .
Justifica el modelo binomial: comprueba las cuatro condiciones.