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Vectores

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Un vector tiene módulo (tamaño) y dirección; se escribe en columna $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ .
Sus componentes dicen cuánto avanza en $x$ , en $y$ (y en $z$ en 3D).
Un escalar es solo un número (sin dirección).
Aparecen en desplazamientos, velocidades y fuerzas.

Componentes y móduloNS

Vector entre $A$ y $B$ : $\vec{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ .
Módulo (longitud): $|\mathbf{v}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ (en 3D, $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ).
El módulo es una distancia: siempre $\geq 0$ .
Un vector unitario tiene módulo $1$ : $\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{1}{|\mathbf{v}|}\mathbf{v}$ .

OperacionesNS

Suma y resta: componente a componente.
Producto por un escalar $k$ : multiplica cada componente por $k$ .
$k>0$ conserva la dirección; $k<0$ la invierte.
Vectores paralelos: uno es múltiplo escalar del otro.

Producto escalarNS

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2\;(+\,u_3v_3)$ : da un número.
También $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$ .
Sirve para hallar el ángulo entre dos vectores.
Si $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$ , los vectores son perpendiculares.

Ángulo entre vectoresNS

Despeja del producto escalar: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ .
Calcula $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ y los dos módulos por separado.
Luego $\theta=\cos^{-1}(\ldots)$ con la GDC en grados.
Un ángulo de $90°$ confirma perpendicularidad.

AplicacionesNS

Posición: $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{v}$ describe un movimiento con velocidad $\mathbf{v}$ .
La rapidez es el módulo de la velocidad $|\mathbf{v}|$ .
Fuerzas: se suman como vectores (resultante).
El desplazamiento es un vector; la distancia, su módulo.

Ejemplo resueltoNS

Problema: halla el ángulo entre $\mathbf{u}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ y $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$ .
Producto escalar: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3(5)+4(0)=15$ .
Módulos: $|\mathbf{u}|=\sqrt{9+16}=5$ , $|\mathbf{v}|=5$ .
$\cos\theta=\dfrac{15}{5\cdot 5}=0{,}6\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0{,}6)\approx 53{,}1°$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Introducir vectores:

menu›Run-Matrix›OPTN›MAT/VCT›Vct

Producto escalar:

OPTN›MAT/VCT›DotP

Módulo de un vector:

OPTN›MAT/VCT›Norm

Ángulo (grados): con la GDC en modo Deg

SHIFT›cos⁻¹

Términos IB

Halla el módulo del vector: usa la raíz de la suma de cuadrados.
Halla el producto escalar: multiplica componentes y suma.
Halla el ángulo entre los vectores: despeja del producto escalar.
Demuestra que son perpendiculares: comprueba que el producto escalar es cero.