Función cuadrática en forma de vértice: halla la función, sus parámetros y su recorrido

🧮 Solución Principal (Texto)

Apartado (a) — Estrategia

Vértice $(3, 2)$ ⇒ $h = 3$, $k = 2$. Hallamos $a$ usando la condición $f(5) = 0$.

Paso 1 — Sustituir $(5, 0)$

$$0 = a(5 - 3)^{2} + 2 = 4 a + 2 \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{2}.$$

$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2} + 2.}$$

Apartado (b)(i) — Estrategia

Sustituimos $x = 1$ y $x = -3$ en $g$ y formamos un sistema lineal en $p$ y $t$.

Paso 1 — Usar $g(1) = 4$

$$g(1) = p(1)^{2} + (t - 1)(1) - p = p + t - 1 - p = t - 1 = 4.$$

$$t = 5.$$

Paso 2 — Usar $g(-3) = 4$

$$g(-3) = 9 p + (t - 1)(-3) - p = 8 p - 3(t - 1).$$

Sustituyendo $t = 5$:
$$8 p - 3(4) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 8 p = 16 \quad\Longrightarrow\quad p = 2.$$

$$\boxed{p = 2, \qquad t = 5.}$$

Apartado (b)(ii) — Estrategia

Con $p = 2$, $t = 5$: $g(x) = 2 x^{2} + 4 x - 2$. Como el coeficiente líder es positivo, la parábola abre hacia arriba y el recorrido es $[g_{\text{vértice}}, +\infty)$.

Paso 1 — Hallar la coordenada $x$ del vértice

$$x_{V} = \frac{-1 + (-3)}{2} = -1\quad\text{(promedio de los puntos simétricos)}.$$

(O bien por simetría: $g(-3) = g(1)$ implica que el eje de simetría es $x = (-3 + 1)/2 = -1$.)

Paso 2 — Hallar la coordenada $y$ del vértice

$$g(-1) = 2(-1)^{2} + 4(-1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4.$$

$$\boxed{\text{Recorrido}(g) = [-4, +\infty).}$$

Apartado (c) — Estrategia

Para que dos gráficos tengan dos puntos de intersección distintos, la ecuación $g(x) = j(x)$ debe ser cuadrática con discriminante $\Delta > 0$.

Paso 1 — Igualar y reordenar

$$p,x^{2} + (t - 1)x - p = -x + 3 p.$$

$$p,x^{2} + (t - 1)x + x - p - 3 p = 0.$$

$$p,x^{2} + t,x - 4 p = 0.$$

Paso 2 — Calcular el discriminante

$$\Delta = t^{2} - 4(p)(-4 p) = t^{2} + 16 p^{2}.$$

Paso 3 — Probar $\Delta > 0$

Como $t\in\mathbb{R}$, $t^{2}\ge 0$. Como $p\ne 0$, $p^{2} > 0$. Por tanto:
$$\Delta = t^{2} + 16 p^{2} > 0.$$

Una suma de un no-negativo y un estrictamente positivo es estrictamente positiva. Esto garantiza que la cuadrática tiene dos raíces reales distintas, es decir, los gráficos se cortan en exactamente dos puntos.

$$\boxed{\Delta = t^{2} + 16 p^{2} > 0\ \forall,p\ne 0,\ t\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ \text{dos intersecciones distintas}. \qquad \blacksquare}$$

📟 Uso de Calculadora (GDC)

Comandos / Inputs:

Este paper se rinde sin GDC. La solución se construye con álgebra y manipulación simbólica directa.