🧮 Solución Principal (Texto)

(i) Valor de $a$ para la muestra X
En el modelo $f(t) = ab^{t}$, el valor $a$ representa la cantidad inicial, es decir, el valor de $f(t)$ cuando $t = 0$:
$$f(0) = a \cdot b^{0} = a \cdot 1 = a$$
Como la muestra X tiene una cantidad inicial de $100$ microgramos:
$$\boxed{a = 100}$$

(ii) Valor de $b$ para la muestra X
Sustituimos los datos conocidos ($t = 138$ días y $f(138) = 50$) en el modelo con $a = 100$:
$$50 = 100 \cdot b^{138}$$
Despejamos $b^{138}$ dividiendo ambos lados entre $100$:
$$b^{138} = \frac{50}{100} = 0{,}5$$
Para despejar $b$, aplicamos la raíz $138$ a ambos lados, equivalente a elevar a $\frac{1}{138}$:
$$b = \left(0{,}5\right)^{\frac{1}{138}}$$
$$b \approx 0{,}994989...$$
$$\boxed{b \approx 0{,}995}$$

Interpretación: como $b < 1$, el modelo describe un decaimiento del $0{,}5\%$ por día aproximadamente. Esto es consistente con un material radioactivo cuya vida media son $138$ días.

(b) Cantidad inicial de la muestra Y
La muestra Y sigue el mismo modelo $f_Y(t) = a_Y \cdot b^{t}$, pero con un valor $a_Y$ distinto (es lo que debemos hallar). El valor de $b$ es el mismo que el de la muestra X porque el material es el mismo ($b \approx 0{,}994989...$).

Sustituimos los datos de la muestra Y ($t = 30$ días, $f_Y(30) = 4$):
$$4 = a_Y \cdot (0{,}994989...)^{30}$$
Calculamos primero el factor $b^{30}$:
$$(0{,}994989...)^{30} \approx 0{,}8602...$$
Despejamos $a_Y$:
$$a_Y = \frac{4}{0{,}8602...}$$
$$a_Y \approx 4{,}65051...$$
$$\boxed{a_Y \approx 4{,}65 \text{ microgramos}}$$

Observación didáctica: es fundamental usar el valor no redondeado de $b$ guardado en memoria de la calculadora. Si se usa $b = 0{,}995$ (redondeado), se arrastra error y se obtiene $a_Y \approx 4{,}65$ igualmente, pero en ejercicios más largos este redondeo prematuro puede costar el A1 final.

📟 Uso de Calculadora (GDC)

a. Entrar al menú Run-Matrix (ejecución).
b. Para (ii): escribir 0.5^(1÷138) y presionar EXE → obtener $0{,}994989...$
c. Guardar el resultado anterior en la variable $B$ con SHIFT → STO → ALPHA(B).
d. Para (b): escribir 4÷(B^30) y presionar EXE → obtener $4{,}65051...$
e. Redondear la respuesta final a $3$ cifras significativas: $a_Y \approx 4{,}65$.